Wanneer is het medicijn uitgewerkt?

Opgave 4 · Newton-Raphson (§ 4.4): succes én mislukking

Na het innemen van een medicijn is de concentratie in het bloed

C(t) = 3t\,e^{-t/2} \qquad \text{(mg per liter, $t$ in uren)}.

Het medicijn werkt zolang C(t) \ge 1. Wanneer zakt de concentratie weer onder de 1? We zoeken het nulpunt van f(t) = 3t\,e^{-t/2} - 1 rond t \approx 5{,}7 uur. De code probeert drie startwaarden p_0.

p0  : text                                  # de startwaarden, tussen [ ] en gescheiden door komma's
eps : 0.01 | 0.0001 | 1e-6 | 1e-10 | 1e-14   # stop als twee stappen zo dicht bij elkaar liggen

De grafiek van f met de raaklijnstappen van Newton-Raphson, vanaf p0 = 8 en vanaf p0 = 12.

Links: vanaf p_0 = 8 lopen de raaklijnen in drie stappen naar het nulpunt. Rechts: vanaf p_0 = 12 is de raaklijn bijna vlak en schiet de eerste stap door naar p_1 \approx -12{,}5.

Probeer zelf

  1. Typ [20] in het tekstvak bij p0 en druk op Enter. Waar komt de eerste stap terecht? Hoe snel komt de methode daarna terug?
  2. Probeer nu [22]. Lees de foutmelding: welk getal is te groot geworden voor de computer?
  3. Voor welke startwaarden vindt Newton-Raphson het nulpunt bij 5,67? Probeer bijvoorbeeld [2.5, 3, 4, 9, 9.5, 10].
  4. Welke startwaarden geven het andere nulpunt, bij 0,41? Wat betekent dat nulpunt voor het medicijn?
  5. Bekijk dezelfde stappen als grafiek in Newton-Raphson in beeld, waar je de startwaarde met een schuifje kiest.

Drie totaal verschillende uitkomsten!

  • p_0 = 6: klaar in 4 stappen. Newton-Raphson op zijn best.
  • p_0 = 2: dat is precies de top van C(t), waar f'(p_0) = 0. De raaklijn ligt horizontaal en snijdt de t-as nooit; de methode loopt meteen vast.
  • p_0 = 12: in de vlakke staart is de raaklijn bijna horizontaal. De eerste stap schiet door naar t \approx -12{,}5 (negatieve tijd!), en na een lange omzwerving komt de methode uit bij het verkeerde nulpunt t \approx 0{,}41: het moment waarop het medicijn begint te werken, niet waarop het is uitgewerkt.