Waar is de komeet?

Opgave 3 · Newton-Raphson (§ 4.4)

Een komeet draait in een ellipsbaan om de zon. Om te weten waar hij op een gegeven tijdstip is, moet je sinds Kepler (1609) eerst de vergelijking van Kepler oplossen:

E - e \sin E = M ,

met e de excentriciteit van de baan en M een bekend getal dat de tijd aangeeft. Voor E bestaat geen formule; al vier eeuwen wordt deze vergelijking numeriek opgelost, en GPS-satellieten doen dat vandaag nog steeds. We zoeken dus het nulpunt van f(E) = E - e\sin E - M.

e : 0 .. 0.99 step 0.01   # excentriciteit: 0 is een cirkel, bijna 1 een langgerekte ellips
M : 0.1 .. 6.2 step 0.1   # de tijd, als hoek tussen 0 en 2π

Probeer zelf

  1. Kijk naar de laatste kolom. Hoeveel nullen achter de komma komen er per stap bij?
  2. Zet e = 0 (een cirkelbaan). Wat is E dan? Waarom is Newton-Raphson na één stap al klaar?
  3. Zet e = 0.99 en M = 0.1: een heel langgerekte baan, vlak nadat de komeet de zon het dichtst nadert. Gaat het nog goed? Verander 7 in range(1, 7) in 15 om meer stappen te zien.
  4. Houd e = 0.99 en M = 0.1, maar verander de startwaarde p = M in p = 1. Wat is het verschil?

Het aantal correcte cijfers verdubbelt per stap (10^{-1}, 10^{-3}, 10^{-6}, 10^{-11}, …): dat is de kwadratische convergentie uit paragraaf 4.4. Vergelijk met opgave 1, waar bisectie 15 stappen nodig had voor 4 cijfers. Maar die snelheid krijg je pas als je dicht genoeg bij het nulpunt begint: bij vraag 4 zie je hoeveel een goede startwaarde scheelt.